El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones. Explica el procedimiento paso a paso para dos ejemplos numéricos, resolviendo cada sistema y obteniendo las soluciones. También analiza las condiciones para que un tercer sistema tenga solución única, múltiples soluciones o no tenga solución.
El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones. Resuelve dos ejemplos numéricos aplicando las operaciones elementales de filas y columnas hasta obtener la forma escalonada reducida. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, múltiples soluciones o no tenga solución.
Este documento describe el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la descomposición LU descompone una matriz original en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior. Luego, detalla los pasos para obtener las matrices L y U y resolver el sistema de ecuaciones utilizando estas matrices triangulares. Finalmente, presenta dos ejemplos numéricos para ilustrar el proceso completo.
METODO DUAL : EJERCICIOS RESUELTOS DE INVESTIGACIONES DE OPERACIONESJuanMiguelCustodioMo
1. El documento presenta la resolución de varios problemas de programación lineal y sus duales. Se convierten los problemas a su forma estándar y se resuelven usando el método simplex. Se obtienen las soluciones óptimas de los problemas primal y dual.
2. Se pide estimar el intervalo del valor objetivo óptimo para dos problemas de PL presentados.
3. En uno de los ejemplos, la solución dual no es factible a pesar de que z=w, por lo que la solución primal es la óptima.
La descomposición LU es un método numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en descomponer la matriz original A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver el sistema en dos etapas: primero resolviendo Ly=b para encontrar y, y luego resolviendo Ux=y para encontrar x, las incógnitas del sistema. El documento explica este método y presenta dos ejemplos numéricos para ilustrar los pasos.
Ejercicios detallados del obj 7 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
Este documento explica el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero, se escribe la matriz ampliada del sistema. Luego, se aplican dos pasos: 1) transformar el primer elemento de la primera columna en 1 y 2) transformar los elementos debajo del 1 en ceros. Esto se repite columna por columna hasta obtener la matriz identidad.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar los valores de α que hacen que el sistema sea compatible. El sistema contiene 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Se forma la matriz ampliada y se realizan operaciones de filas para ponerla en forma escalonada reducida. Esto muestra que el sistema es compatible solo si α = -13/17. Para este valor de α, el sistema tiene una única solución dada por x=25/17, y=12/17, z=-14/17.
El documento describe el método de simplex dual para resolver un problema de programación lineal de minimización con 5 variables y 4 restricciones. Se presentan los pasos para construir la tabla simplex, identificar la variable de entrada, calcular la nueva ecuación pivote y actualizar la tabla hasta alcanzar la solución óptima de X1=3/5, X2=6/5, Z=21/5.
El primer ejercicio presenta un sistema de ecuaciones lineales 3x3 que no tiene solución porque al aplicar el método de Gauss se obtiene la última fila como (0 0 0 | -4), lo que implica un absurdo matemático. El segundo ejercicio también es un sistema 3x3 que tiene infinitas soluciones porque reduciendo la matriz a escalón reducido se obtiene una fila de ceros. El tercer ejercicio es otro sistema 3x3 que tiene infinitas soluciones por la misma razón.
El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones. Resuelve dos ejemplos numéricos aplicando las operaciones elementales de filas y columnas hasta obtener la forma escalonada reducida. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, múltiples soluciones o no tenga solución.
Este documento describe el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la descomposición LU descompone una matriz original en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior. Luego, detalla los pasos para obtener las matrices L y U y resolver el sistema de ecuaciones utilizando estas matrices triangulares. Finalmente, presenta dos ejemplos numéricos para ilustrar el proceso completo.
METODO DUAL : EJERCICIOS RESUELTOS DE INVESTIGACIONES DE OPERACIONESJuanMiguelCustodioMo
1. El documento presenta la resolución de varios problemas de programación lineal y sus duales. Se convierten los problemas a su forma estándar y se resuelven usando el método simplex. Se obtienen las soluciones óptimas de los problemas primal y dual.
2. Se pide estimar el intervalo del valor objetivo óptimo para dos problemas de PL presentados.
3. En uno de los ejemplos, la solución dual no es factible a pesar de que z=w, por lo que la solución primal es la óptima.
La descomposición LU es un método numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en descomponer la matriz original A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver el sistema en dos etapas: primero resolviendo Ly=b para encontrar y, y luego resolviendo Ux=y para encontrar x, las incógnitas del sistema. El documento explica este método y presenta dos ejemplos numéricos para ilustrar los pasos.
Ejercicios detallados del obj 7 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
Este documento explica el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero, se escribe la matriz ampliada del sistema. Luego, se aplican dos pasos: 1) transformar el primer elemento de la primera columna en 1 y 2) transformar los elementos debajo del 1 en ceros. Esto se repite columna por columna hasta obtener la matriz identidad.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar los valores de α que hacen que el sistema sea compatible. El sistema contiene 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Se forma la matriz ampliada y se realizan operaciones de filas para ponerla en forma escalonada reducida. Esto muestra que el sistema es compatible solo si α = -13/17. Para este valor de α, el sistema tiene una única solución dada por x=25/17, y=12/17, z=-14/17.
El documento describe el método de simplex dual para resolver un problema de programación lineal de minimización con 5 variables y 4 restricciones. Se presentan los pasos para construir la tabla simplex, identificar la variable de entrada, calcular la nueva ecuación pivote y actualizar la tabla hasta alcanzar la solución óptima de X1=3/5, X2=6/5, Z=21/5.
El primer ejercicio presenta un sistema de ecuaciones lineales 3x3 que no tiene solución porque al aplicar el método de Gauss se obtiene la última fila como (0 0 0 | -4), lo que implica un absurdo matemático. El segundo ejercicio también es un sistema 3x3 que tiene infinitas soluciones porque reduciendo la matriz a escalón reducido se obtiene una fila de ceros. El tercer ejercicio es otro sistema 3x3 que tiene infinitas soluciones por la misma razón.
El documento describe el método dual simplex para resolver problemas de programación lineal óptimos pero infactibles. Este método convierte las restricciones en forma canónica y agrega variables de holgura para poner el problema en una tabla inicial. Si algún elemento de la parte derecha es negativo y se satisface la condición de optimidad, el problema puede resolverse iterativamente mediante el método dual simplex hasta alcanzar una solución factible y óptima.
Este documento presenta los pasos para resolver un problema de programación lineal minimizando la función objetivo Z = 3X1 + 2X2 sujeto a varias restricciones sobre X1 y X2. El problema se resuelve aplicando el método simplex para hallar la tabla óptima final con las soluciones X1 = 3/5, X2 = 6/5 y Z = 21/5.
Este documento presenta los pasos para resolver un problema de programación lineal utilizando el método simplex. Se muestra la construcción de tablas simplex para encontrar la solución óptima en tres ejercicios de maximización de una función objetivo sujeto a restricciones. En el tercer ejercicio, no se pudo encontrar una solución debido a que había un coeficiente negativo que violaba las restricciones.
El documento explica cómo aplicar el método simplex para resolver problemas de optimización lineal. Describe los pasos para convertir las restricciones en un sistema de ecuaciones, agregar variables holgura, e igualar la función objetivo a cero. Luego muestra cómo construir la tabla simplex inicial y realizar iteraciones para encontrar la solución óptima mediante la selección de filas y columnas pivote. Finalmente, presenta un caso numérico completo para ilustrar el proceso de resolución utilizando el método simplex.
El documento trata sobre conceptos básicos de geometría analítica como puntos, rectas y sistemas de coordenadas cartesianas. Explica cómo calcular la distancia entre puntos utilizando el teorema de Pitágoras, y cómo determinar el punto medio, perímetro y área de triángulos a partir de las coordenadas de sus vértices. También incluye ejemplos resueltos de cálculos con triángulos en un plano cartesiano.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
El documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método implica realizar operaciones como restar ecuaciones multiplicadas por números para simplificar el sistema hasta obtener una forma triangular superior o inferior donde se pueden leer directamente las soluciones. Se proveen varios ejemplos ilustrativos del proceso de aplicar el método de Gauss paso a paso.
Este documento presenta ejercicios de interpolación lineal y polinómicos de Newton y Lagrange. En el primer ejercicio, se interpola linealmente entre puntos dados y se calcula el error relativo. En los ejercicios 2 y 3, se usan polinomios de Newton de 2o y 3er grado respectivamente para interpolar valores faltantes. En el ejercicio 4, se repite el ejercicio 3 usando un polinomio de Lagrange de 3er grado.
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
El documento presenta ejercicios resueltos sobre la técnica de la gran M para convertir problemas de programación lineal entera y lineal en problemas equivalentes de programación lineal. Explica los pasos para agregar variables artificiales y de holgura, penalizarlas en la función objetivo y aplicar el método simplex para encontrar la solución óptima. Proporciona varios ejemplos numéricos ilustrativos para aplicar esta técnica.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
El documento explica cómo aplicar el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de dos subespacios vectoriales W del espacio R3. En el primer ejemplo, W={(a,b,c) ∈ R3 / a+b+c=0} y la base ortonormal resultante es B={(-1,1,0),(-1/2,-1/2,1)}. En el segundo ejemplo, W={(a,b,c) / a=0} y la base ortonormal es B'={(0,1,0),(0,0,1)}. Se pro
El documento define la imagen como un subespacio vectorial cuyos vectores son transformaciones lineales de otro espacio vectorial. Explica que una transformación es inyectiva si cada vector tiene una única imagen, sobreyectiva si la imagen es igual al espacio de llegada, y biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Resuelve ejemplos calculando la imagen mediante sistemas de ecuaciones.
La cápsula lineal es el subespacio vectorial generado por un conjunto S de vectores. Está formado por todas las combinaciones lineales de los vectores en S y es igual al subespacio vectorial W donde S se encuentra. La cápsula lineal ‹S› es un subconjunto del espacio vectorial V que contiene a W.
Una matriz es un ordenamiento rectangular de números distribuidos en filas y columnas. Se representa con letras mayúsculas y subíndices para indicar la posición de cada elemento. La diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos cuya fila y columna coinciden. Existen diferentes tipos de matrices como las matrices escalares o las matrices identidad.
1. Resume los tipos de matrices y pide hallar matrices que cumplan ciertas propiedades.
2. Pide hallar el conjunto de matrices que conmutan con una dada y probar propiedades de matrices idempotentes.
3. Presenta matrices y pide demostrar si son equivalentes, hallar matrices inversibles que relacionen matrices dadas, y calcular potencias de una matriz.
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
Una base ortogonal es una base formada por un conjunto de vectores ortogonales cuyos productos internos son cero. Para que un conjunto sea base ortogonal, debe ser linealmente independiente y todos los productos internos entre los vectores de la base deben ser cero. El conjunto T={(-1,2),(2,1)} es un ejemplo de base ortogonal en R2 porque es linealmente independiente y los productos internos entre sus vectores son cero.
El documento describe el proceso de Gram-Schmidt para transformar una base en una base ortonormal. Explica que el proceso toma una base linealmente independiente de vectores y genera una nueva base ortogonal donde el primer vector es igual al primer vector original y cada vector subsiguiente es ortogonal a los anteriores. También define qué es un conjunto ortonormal y un vector unitario.
Ejercicios propuestos a una matriz asociada 2algebra
Este documento trata sobre los datos necesarios para encontrar la matriz asociada a una transformación lineal. Se necesitan la base del conjunto de salida y la base del conjunto de llegada, las cuales deben ser de la misma dimensión. La matriz cambio de base tiene como columnas las imágenes de los vectores de la base de salida en la base de llegada.
Una matriz es un ordenamiento rectangular de números distribuidos en filas y columnas. La diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos donde la fila y columna son iguales. Existen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, matrices rectangulares y matrices escalares donde un escalar se multiplica por toda la matriz.
Este documento presenta varias propiedades de los determinantes. Entre ellas, que si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. También que si se multiplica una fila o columna por un escalar, el determinante se multiplica por ese escalar. Y que si una matriz tiene filas o columnas iguales o dependientes, su determinante es cero.
El documento describe el método dual simplex para resolver problemas de programación lineal óptimos pero infactibles. Este método convierte las restricciones en forma canónica y agrega variables de holgura para poner el problema en una tabla inicial. Si algún elemento de la parte derecha es negativo y se satisface la condición de optimidad, el problema puede resolverse iterativamente mediante el método dual simplex hasta alcanzar una solución factible y óptima.
Este documento presenta los pasos para resolver un problema de programación lineal minimizando la función objetivo Z = 3X1 + 2X2 sujeto a varias restricciones sobre X1 y X2. El problema se resuelve aplicando el método simplex para hallar la tabla óptima final con las soluciones X1 = 3/5, X2 = 6/5 y Z = 21/5.
Este documento presenta los pasos para resolver un problema de programación lineal utilizando el método simplex. Se muestra la construcción de tablas simplex para encontrar la solución óptima en tres ejercicios de maximización de una función objetivo sujeto a restricciones. En el tercer ejercicio, no se pudo encontrar una solución debido a que había un coeficiente negativo que violaba las restricciones.
El documento explica cómo aplicar el método simplex para resolver problemas de optimización lineal. Describe los pasos para convertir las restricciones en un sistema de ecuaciones, agregar variables holgura, e igualar la función objetivo a cero. Luego muestra cómo construir la tabla simplex inicial y realizar iteraciones para encontrar la solución óptima mediante la selección de filas y columnas pivote. Finalmente, presenta un caso numérico completo para ilustrar el proceso de resolución utilizando el método simplex.
El documento trata sobre conceptos básicos de geometría analítica como puntos, rectas y sistemas de coordenadas cartesianas. Explica cómo calcular la distancia entre puntos utilizando el teorema de Pitágoras, y cómo determinar el punto medio, perímetro y área de triángulos a partir de las coordenadas de sus vértices. También incluye ejemplos resueltos de cálculos con triángulos en un plano cartesiano.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
El documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método implica realizar operaciones como restar ecuaciones multiplicadas por números para simplificar el sistema hasta obtener una forma triangular superior o inferior donde se pueden leer directamente las soluciones. Se proveen varios ejemplos ilustrativos del proceso de aplicar el método de Gauss paso a paso.
Este documento presenta ejercicios de interpolación lineal y polinómicos de Newton y Lagrange. En el primer ejercicio, se interpola linealmente entre puntos dados y se calcula el error relativo. En los ejercicios 2 y 3, se usan polinomios de Newton de 2o y 3er grado respectivamente para interpolar valores faltantes. En el ejercicio 4, se repite el ejercicio 3 usando un polinomio de Lagrange de 3er grado.
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
El documento presenta ejercicios resueltos sobre la técnica de la gran M para convertir problemas de programación lineal entera y lineal en problemas equivalentes de programación lineal. Explica los pasos para agregar variables artificiales y de holgura, penalizarlas en la función objetivo y aplicar el método simplex para encontrar la solución óptima. Proporciona varios ejemplos numéricos ilustrativos para aplicar esta técnica.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
El documento explica cómo aplicar el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de dos subespacios vectoriales W del espacio R3. En el primer ejemplo, W={(a,b,c) ∈ R3 / a+b+c=0} y la base ortonormal resultante es B={(-1,1,0),(-1/2,-1/2,1)}. En el segundo ejemplo, W={(a,b,c) / a=0} y la base ortonormal es B'={(0,1,0),(0,0,1)}. Se pro
El documento define la imagen como un subespacio vectorial cuyos vectores son transformaciones lineales de otro espacio vectorial. Explica que una transformación es inyectiva si cada vector tiene una única imagen, sobreyectiva si la imagen es igual al espacio de llegada, y biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Resuelve ejemplos calculando la imagen mediante sistemas de ecuaciones.
La cápsula lineal es el subespacio vectorial generado por un conjunto S de vectores. Está formado por todas las combinaciones lineales de los vectores en S y es igual al subespacio vectorial W donde S se encuentra. La cápsula lineal ‹S› es un subconjunto del espacio vectorial V que contiene a W.
Una matriz es un ordenamiento rectangular de números distribuidos en filas y columnas. Se representa con letras mayúsculas y subíndices para indicar la posición de cada elemento. La diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos cuya fila y columna coinciden. Existen diferentes tipos de matrices como las matrices escalares o las matrices identidad.
1. Resume los tipos de matrices y pide hallar matrices que cumplan ciertas propiedades.
2. Pide hallar el conjunto de matrices que conmutan con una dada y probar propiedades de matrices idempotentes.
3. Presenta matrices y pide demostrar si son equivalentes, hallar matrices inversibles que relacionen matrices dadas, y calcular potencias de una matriz.
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
Una base ortogonal es una base formada por un conjunto de vectores ortogonales cuyos productos internos son cero. Para que un conjunto sea base ortogonal, debe ser linealmente independiente y todos los productos internos entre los vectores de la base deben ser cero. El conjunto T={(-1,2),(2,1)} es un ejemplo de base ortogonal en R2 porque es linealmente independiente y los productos internos entre sus vectores son cero.
El documento describe el proceso de Gram-Schmidt para transformar una base en una base ortonormal. Explica que el proceso toma una base linealmente independiente de vectores y genera una nueva base ortogonal donde el primer vector es igual al primer vector original y cada vector subsiguiente es ortogonal a los anteriores. También define qué es un conjunto ortonormal y un vector unitario.
Ejercicios propuestos a una matriz asociada 2algebra
Este documento trata sobre los datos necesarios para encontrar la matriz asociada a una transformación lineal. Se necesitan la base del conjunto de salida y la base del conjunto de llegada, las cuales deben ser de la misma dimensión. La matriz cambio de base tiene como columnas las imágenes de los vectores de la base de salida en la base de llegada.
Una matriz es un ordenamiento rectangular de números distribuidos en filas y columnas. La diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos donde la fila y columna son iguales. Existen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, matrices rectangulares y matrices escalares donde un escalar se multiplica por toda la matriz.
Este documento presenta varias propiedades de los determinantes. Entre ellas, que si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. También que si se multiplica una fila o columna por un escalar, el determinante se multiplica por ese escalar. Y que si una matriz tiene filas o columnas iguales o dependientes, su determinante es cero.
El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones y propone tres ejercicios para determinar los valores de x que darían una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución a un sistema dado.
Ejercicios propuestos y evaluacion operaciones elementalesalgebra
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre operaciones elementales de fila para escalonar y reducir matrices. Propone aplicar estas operaciones a diferentes matrices y evaluar afirmaciones relacionadas con conceptos como equivalencia y similitud matricial.
Este documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Describe cómo formar la matriz ampliada y de coeficientes, calcular los determinantes para hallar valores de incógnitas, y determinar valores de parámetros para que un sistema tenga solución única, múltiples soluciones o ninguna solución. También incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para practicar el método.
Un conjunto T es una base ortonormal de un espacio vectorial V con producto interno si T es una base de V y es un conjunto ortonormal. Para ser una base, T debe ser linealmente independiente y abarcar la dimensión de V; para ser ortonormal, todos los vectores en T deben ser unitarios y ortogonales entre sí. El conjunto T = {(1,0), (0,1)} es un ejemplo de base ortonormal del espacio R2 porque es una base linealmente independiente formada por vectores unitarios perpendiculares.
Ejercicios resueltos y explicados operaciones con matricesalgebra
1) Se resuelve la multiplicación de las matrices A y B dando como resultado AB = 14841. También se calcula C2 = 38189. Luego se suma AB + C2 = 422613.
2) Para resolver 3AB + 2C2 se calcula primero 3AB = 422412 y 2C2 = 793618. Finalmente se suma 3AB + 2C2 = 121603025.
El documento describe el proceso de Gram-Schmidt para transformar una base en una base ortonormal. Explica que el proceso toma una base linealmente independiente y genera una nueva base ortogonal reemplazando cada vector con su proyección ortogonal sobre el subespacio generado por los vectores anteriores. También define qué es un conjunto ortonormal y un vector unitario.
Las bases canónicas son bases elementales con unos y ceros que son bases ortonormales. Cualquier vector del espacio vectorial verifica que sus componentes coinciden con sus coordenadas respecto a la base canónica.
El método de Gauss consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada equivalente al sistema original mediante operaciones de fila. Esto permite escribir el sistema equivalente y resolverlo para obtener las incógnitas. Si la matriz resultante tiene una fila de ceros, el sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones. El método involucra obtener la matriz ampliada, escalonarla por filas mediante operaciones, y reemplazar valores en filas superiores para hallar cada incógnita de forma secuencial.
Un conjunto T es una base ortonormal de un espacio vectorial V con producto interno si:
1) T es una base ortogonal de V, es decir, los vectores de T son linealmente independientes y generan V; y
2) Todos los vectores de T son unitarios. El conjunto {(1,0), (0,1)} es un ejemplo de base ortonormal del plano euclídeo R2.
Este documento describe el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales de tres variables desconocidas. Explica cómo formar la matriz correspondiente al sistema y realizar operaciones de filas para obtener ceros e identificar los valores de las variables desconocidas. A través de una serie de pasos, la matriz se reduce hasta obtener valores de 1 en la diagonal principal, identificando así las soluciones del sistema como x=3, y=2, z=1.
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales 3x3 utilizando el método de Gauss-Jordan. Luego, deriva una función dada y evalúa la derivada sustituyendo los valores de la solución del sistema de ecuaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra lineal propuestos para varias semanas. En la primera semana se pide dar un ejemplo de una magnitud vectorial de la vida cotidiana y calcular la magnitud y dirección de dos vectores. En las semanas siguientes se plantean ejercicios sobre proyecciones de vectores, operaciones con matrices y cálculo de la inversa de una matriz.
La descomposición LU es un método numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en descomponer la matriz original A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver el sistema en dos etapas: primero resolviendo Ly=b para encontrar y, y luego resolviendo Ux=y para encontrar x, las incógnitas del sistema. El documento explica este método y provee dos ejemplos numéricos para ilustrar los pasos.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y el método de Gauss para resolverlos. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de igualdades donde variables desconocidas se combinan linealmente. El método de Gauss transforma el sistema original en uno equivalente pero escalonado a través de operaciones de filas, lo que permite determinar los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.
Este documento describe el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la descomposición LU descompone una matriz original en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior. Luego, detalla los pasos para obtener las matrices L y U y resolver el sistema de ecuaciones, y provee dos ejemplos numéricos para ilustrar el proceso.
1) La función gamma fue definida por Euler mediante una integral desde 0 hasta infinito de e^-t * t^(x-1) dt, donde x es mayor que 0. 2) Se demuestran algunas propiedades como Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π, Γ(x+1) = xΓ(x). 3) También se presenta el teorema de la función gamma que relaciona Γ(x)Γ(1-x) con π/sen(πx) para valores de x entre 0 y 1.
El documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 variables utilizando el método de Gauss-Jordan. Tras aplicar 10 pasos de operaciones sobre las filas de la matriz aumentada, se obtienen los valores de las variables x, y, z. Finalmente, se sustituyen estos valores en la expresión dada f(t) = 2y'' + z4'' - 3x2' para hallar que f(t) = 171.
El documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método implica realizar operaciones como restar ecuaciones multiplicadas por números para simplificar el sistema hasta obtener una forma triangular superior o inferior donde se pueden leer directamente los valores de las incógnitas. Se proveen varios ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del método.
Este documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Describe cómo, mediante operaciones como sumar o restar ecuaciones multiplicadas por números, se puede transformar un sistema en uno equivalente con una forma reducida que facilita encontrar su solución de manera sistemática. Presenta varios ejemplos ilustrativos del proceso de aplicar este método paso a paso para resolver diferentes sistemas de ecuaciones.
El documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 variables utilizando el método de Gauss-Jordan. Se obtienen los valores de x, y, z y al sustituir en la función f(t) = 2y'' + z4'' - 3x2' se obtiene un valor de 171.
Este documento presenta un ejercicio de optimización y evaluación de sistemas para hallar el valor de la función F(t). Se dan los valores de la matriz X, Y, Z y se aplica el método de Gauss-Jordan para determinarlos. Luego, se deriva la función F(t) = 2Y'' + Z4'' - 3X2' y se sustituye en la matriz resultante para hallar el valor de F(t) = 756.
El documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordan. Tras aplicar 10 pasos de transformación a la matriz aumentada, se obtienen los valores de x, y y z. Finalmente, se sustituyen estos valores en la expresión f(t) = 2y'' + z4'' - 3x2' para hallar que f(t) = 171.
El documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 variables (x, y, z) utilizando el método de Gauss-Jordan. Tras formar la matriz aumentada y aplicar una serie de operaciones de filas, se obtienen los valores de x, y, z. Finalmente, se sustituyen estos valores en la expresión dada f(t) = 2y'' + z4'' - 3x2' para hallar su valor.
El primer ejercicio presenta un sistema de ecuaciones lineales 3x3 que no tiene solución porque al aplicar el método de Gauss se obtiene la última fila como (0 0 0 | -4), lo que implica un absurdo matemático. El segundo ejercicio también es un sistema 3x3 que tiene infinitas soluciones porque al aplicar Gauss se obtiene una fila de ceros. El tercer ejercicio es otro sistema 3x3 que tiene infinitas soluciones por la misma razón.
El documento explica el concepto de dualidad en la programación lineal. Específicamente, describe que para cada problema de programación lineal primal existe un problema dual asociado. Explica que al resolver uno de los problemas (primal o dual) automáticamente se resuelve el otro. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo transformar un problema primal a su forma dual.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye problemas para determinar si los sistemas son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados. También presenta ejemplos resueltos de sistemas compatibles determinados e indeterminados.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye problemas para determinar si los sistemas son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados. También presenta ejemplos resueltos de sistemas compatibles determinados e indeterminados.
Este documento describe cómo Maple puede resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Maple puede encontrar soluciones exactas simbólicas para algunas ecuaciones utilizando funciones como solve. También puede encontrar soluciones numéricas aproximadas para cualquier ecuación utilizando fsolve. El documento proporciona ejemplos de cómo definir ecuaciones en Maple y obtener y verificar sus soluciones.
El documento presenta cuatro ejercicios resueltos usando el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones. En cada ejercicio se presenta el sistema, la matriz aumentada correspondiente y los pasos para obtener el sistema equivalente. Se resuelven los sistemas y se presentan las soluciones encontradas.
Similar a Ejercicios resueltos metodo gauss jordan (20)
Este documento describe los valores y vectores propios de una matriz. Explica que los vectores propios de una matriz no son únicos, que existen infinitos vectores propios asociados a cada valor propio, y que una matriz es diagonalizable si existe una base ortogonal de vectores propios. También cubre propiedades específicas de matrices simétricas, como que sus valores propios son reales y que sus vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales.
Este documento describe cómo calcular la matriz asociada a una composición de funciones lineales. Explica que la matriz de cambio de base de una composición es el producto de las matrices de cambio de base de cada función individual y las matrices identidad. También muestra cómo calcular la matriz asociada a una aplicación lineal respecto a bases canónicas y no canónicas.
Este documento describe las operaciones elementales que se pueden realizar en una matriz, incluyendo cambiar filas, multiplicar una fila por un escalar, y sumar filas multiplicadas. Explica que estas operaciones son importantes para escalonar, reducir y obtener la forma escalonada de una matriz. También define que dos matrices son equivalentes si una puede obtenerse de la otra a través de estas operaciones elementales. Luego, presenta ejercicios resueltos que muestran cómo aplicar estas operaciones para escalonar y reducir matrices.
Este documento describe las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices, incluyendo suma, resta, multiplicación por un escalar, y multiplicación de matrices. Explica que la suma y resta requieren que las matrices tengan el mismo tamaño, y que la multiplicación de matrices solo es posible si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo resolver una expresión que involucra la multiplicación y resta de matrices.
Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equival...algebra
Este documento define y da ejemplos de varios tipos de matrices, incluyendo matrices conmutables, idempotentes, nilpotentes, involutivas, elementales y equivalentes. También presenta dos teoremas y un corolario sobre la equivalencia de matrices.
Este documento explica los conceptos de matriz escalonada por filas, matriz escalonada reducida por filas y pivote de una matriz. Una matriz escalonada tiene ceros que aumentan de izquierda a derecha fila por fila, mientras que una matriz escalonada reducida tiene unos en las columnas con los únicos elementos no nulos. El pivote es el primer elemento no nulo de cada fila. El documento también incluye ejemplos y ejercicios resueltos de reducir matrices a estas formas.
Este documento presenta 6 ejercicios de reducción de matrices a forma escalonada y escalonada reducida por filas, así como 5 preguntas de opción múltiple relacionadas con conceptos de álgebra lineal como pívot, elementos en cero y operaciones entre filas y columnas para reducir una matriz.
Evaluación forma escalonada reducida por filas de una matrizalgebra
Este documento presenta 6 ejercicios de reducción de matrices a forma escalonada y escalonada reducida por filas, así como 5 preguntas de opción múltiple relacionadas con conceptos de álgebra lineal como pívot, elementos en cero y operaciones entre filas y columnas en este proceso.
El documento resume diferentes tipos de matrices:
- Matriz conmutable: aquella donde A*B = B*A
- Matriz idempotente: cumple que A^2 = A
- Matriz nilpotente: existe un número n tal que A^n = 0
- Matriz involutiva: cumple que A^2 = I
- Matriz elemental: resultado de aplicar operaciones de filas a la matriz identidad I
- Matrices equivalentes: existen si una puede transformarse en la otra mediante operaciones de filas
El método de Gauss-Jordan es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida o una matriz identidad a través de operaciones elementales de filas y columnas. Esto permite encontrar directamente las soluciones de cada incógnita sin necesidad de sustitución hacia atrás.
Este documento resume los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y Cramer. Explica que un sistema tiene una solución única si el número de ecuaciones válidas es igual al número de incógnitas, tiene infinitas soluciones si hay menos ecuaciones que incógnitas, y no tiene solución si la matriz ampliada y la matriz de coeficientes no coinciden en el número de filas no nulas. También cubre cómo el determinante de Cramer indica si el sistema tiene solución única, infinitas soluc
El documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se presenta un ejemplo resolviendo el sistema 2x + y + 3z = 53, x + 2y + 2z = 6, 5x + 3y + z = 16. Luego se explican los pasos generales del método de Cramer para determinar si un sistema tiene solución única, más de una solución o no tiene solución. Finalmente, se proponen dos ejercicios para aplicar el método.
Este documento presenta 10 ejercicios sobre transformaciones lineales y sus núcleos. Se pide hallar el núcleo de diferentes transformaciones lineales dadas entre distintos espacios vectoriales, y evaluar afirmaciones sobre conceptos básicos de núcleos.
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que transforma vectores de un espacio en otro de forma lineal. El núcleo de una transformación lineal es el subespacio de vectores cuyas imágenes son el vector cero en el espacio vectorial de llegada.
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
Ejercicios propuestos a una matriz asociadaalgebra
Este documento trata sobre las matrices asociadas a transformaciones lineales. Explica que para encontrar la matriz asociada a una transformación lineal se necesitan la base del conjunto de salida y la base del conjunto de llegada. También cubre la matriz de cambio de base, indicando que esta debe ser de la misma dimensión y que para encontrarla se requieren la base del conjunto de salida y la base del conjunto de llegada.
Ejercicios matriz asociada a una composicion de funcionesalgebra
Para resumir:
1. Para que una función sea biyectiva debe ser inyectiva y sobreyectiva.
2. Se puede calcular la matriz asociada a una composición de funciones usando una matriz de cambio de base.
3. Toda matriz se puede asociar a una transformación lineal.
1) La imagen es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial W, también conocido como el conjunto de llegada.
2) Los vectores que conforman la imagen no necesariamente son combinaciones lineales unos de otros.
3) La imagen se forma por una restricción al espacio vectorial W.
1. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
EJERCICIOS EXPLICADOS Y RESUELTOS
1. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan
2x + 3y = 3
x − 2y = 5
3x + 2 y = 7
La matriz aumentada del sistema es:
2 3 3
1 - 2 5
3 2 7
Se procede a conseguir el 1 principal en la primera fila y en las siguientes mediante
operaciones elementales de fila y/o de columna.
≈
2 3 3 1 3/2 3/2 ≈ 1 3/2 3/2
F1
1 - 2 5 F2 → F2 − 2 0 - 7/2 7/2 F2 → (2 / 7) F2 0 -1 1
3 2 7 3 2 7 F3 → F3 − 3F1 0 - 5/2 5/2
F1 → F1 / 2
1 3/2 3/2 ≈ 1 3/2 3/2
≈
0 -1 1 F3 → F3 + F2 0 1 -1
F3 → ( 2 / 5) F3
0 -1 1 F2 → − F2 0 0 0
En este punto se puede observar que el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas, por lo que existirá única solución. Se ha obtenido los 1 principales de cada
fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula,
avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste,
aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo.
1 3/2 3/2 ≈ 1 0 3
0 1 - 1 F1 → F1 + (3 / 2) F2 0 1 -1
0 0 0 0 0 0
La solución del sistema es por lo tanto:
x=3
y = −1
2. 2. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan
2 x + y − 3z = 5
3x − 2 y + 2 z = 6
5 x − 3 y − z = 16
La matriz aumentada del sistema es:
2 1 -3 5
3 - 2 2 6
5 - 3 - 1 16
Para resolver el sistema por el método de Gauss Jordan, debe llevarse la matriz a la
forma escalonada reducida haciendo operaciones entre filas o columnas. Al observar la
matriz se determina que el mejor paso para obtener el 1 en la primera fila es
1
F1 → F1 . Obtenemos la matriz:
2
2 1 - 3 5 ≈ 1 1/2 - 3/2 5/2
3 - 2 2 6 F → 1 F 3 - 2 2 6
5 - 3 - 1 16 1 2
1
5 - 3 - 1 16
A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema
original.
1 1/2 - 3/2 5/2 ≈ 1 1/2 - 3/2 5/2
3 - 2 2 6 F2 → F2 − 3F1 0 - 7/2 13/2 - 3/2
5 - 3 - 1 16 F3 → F3 − 5 F1 0 - 11/2 13/2 7/2
1 1/2 - 3/2 5/2 1 1/2 - 3/2 5/2
≈ ≈
0 1 - 13/7 3/7 0 1 - 13/7 3/7
F2 → −(2 / 7) F2 F → F3 + (11 / 2) F2
0 - 11/2 13/2 7/2 3 0 0 - 26/7 41/7
1 1/2 - 3/2 5/2
≈
F3 → −(7 / 26) F3 0 1 - 13/7 3/7
0 0 1 - 41/26
En este punto de la resolución se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen
a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia
3. arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las
operaciones necesarias para conseguirlo.
1 1/2 - 3/2 5/2 1 1/2 - 3/2 5/2
≈
0 1 - 13/7 3/7 F → F + (13 / 7) F 0 1 0 - 5/2
0 0 1 - 41/26
2 2 3
0 0 1 - 41/26
1 1/2 0 7/52 1 0 0 18/13
≈ ≈
F1 → F1 + (3 / 2) F3 0 1 0 - 5/2 F → F − (1 / 2) F 0 1 0 - 5/2
0 0 1 - 41/26 1 1 2
0 0 1 - 41/26
La solución del sistema es por lo tanto:
x = 18 / 13
y = −5 / 2
z = −41 / 26
3. Determinar los valores de a para que el sistema:
(2a + 2) x + (a − 1) y + (a + 3) z = −2
0 x + (a − 1) y − (a − 1) z = 0
2 x + y − z = −1
a) Tenga solución única
b) Tenga más de una solución
c) No tenga solución
La matriz aumentada del sistema es:
2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2
0 a - 1 - (a - 1) 0
2 1 -1 -1
Si observamos la primera fila vemos que resulta complicado conseguir un 1, de las 3
operaciones elementales, la más fácil de aplicar es F3 ↔ F1 , es decir intercambiamos
la fila 3 por la fila 1.
4. 2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2 2 1 −1 -1
≈
0 a - 1 - (a - 1) 0
F3 ↔ F1 0 a - 1 - (a - 1) 0
2 1 -1 -1 2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2
A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema
original (no se divide el 2 de la primera fila para 2, así obteniendo un 1, porque se
complicaría el proceso con las consiguientes fracciones).
2 1 −1 -1 ≈ 2 1 − 1 -1
0 a - 1 - (a - 1) 0 F2 0 1 -1 0
F →
2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2 2 (a − 1) 2(a + 1) a - 1 a + 3 - 2
2 1 −1 -1 2 1 −1 -1
≈ ≈
F3 → F3 − (a + 1) F1 0 1 -1 0
F → F3 + 2F2 0 1 -1 0
0 - 2 2(a + 2) a - 1 3 0 0 2(a + 1) a - 1
Aquí podemos observar que el proceso es similar al del método de Gauss, el
determinante de la matriz de coeficientes es 2*2*(a+1), el cual nos servirá para
reemplazar el o los valores de a que encontremos y así determinar cuando existe
solución, infinitas soluciones o no existe solución.
En este punto de la resolución, si queremos hacer 1 al elemento 2(a+1), debemos
garantizar que este elemento es diferente de cero (el coeficiente de la variable z no
debe ser cero, lo cual produciría un error al analizar las soluciones infinitas, única
solución o cuando no existe solución ya que estamos en medio del proceso).
2(a + 1) = 0
a +1 = 0
a = -1
es diferente de cero
F3
Por lo tanto se puede realizar la operación F3 → y continuamos con el
2(a + 1)
proceso.
2 1 −1 -1 ≈ 2 1 −1 -1
0 1 -1 0 F3 0 1 -1 0
F3 → a -1
0 0 2(a + 1) a - 1 2(a + 1) 0 0 1
2(a + 1)
5. ≈ 2 1 0 [ (a - 1)/2(a + 1)] - 1
F2 → F2 + F3 0 1 0 (a - 1)/2(a + 1)
F1 → F1 + F3 0 0 1 (a - 1)/2(a + 1)
2 0 0 -1 ≈ 1 0 0 - 1/2
≈
F1 → F1 − F2 0 1 0 (a - 1)/2(a + 1) F → F1 0 1 0 (a - 1)/2(a + 1)
0 0 1 (a - 1)/2(a + 1) 1 2 0 0 1 (a - 1)/2(a + 1)
Luego de realizado el proceso, observamos que existe el determinante en la matriz de
coeficientes que ya lo determinamos. Analizamos el valor de a hallado en pasos
anteriores (a=-1) y los valores con los cuales los denominadores se hagan cero (se
observa que el valor de a encontrado antes es el mismo que hace que los
denominadores sean cero).
Si a es distinto de -1, el determinante es distinto de cero, luego:
a) ∃! sol∀a ∈ R − { − 1}
No existirá solución si a=-1, ya que el determinante se hace cero, si sustituimos este
valor en las soluciones del sistema, tampoco existirá solución ya que los
denominadores se harían cero, luego:
c) ¬∃sol si a = −1
No existen las infinitas soluciones, ya que como vemos en la matriz a la que llegamos,
aunque la solución del valor de y o z sea igual a cero, sigue existiendo la solución que
sería la trivial, además que no tenemos otro valor de a para analizar, lo que también se
vio al analizar el determinante de la matriz de coeficientes.
En este tipo de problemas se debe usar el método de Gauss-Jordan, ya que al
encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones pueden existir otros valores para los
cuales los denominadores de estas soluciones se hagan cero, valores que deben
analizarse para dar respuesta al problema.
Estos valores se deben reemplazar en la matriz ampliada y luego debe aplicarse el
método de Gauss, se determinará si existen infinitas soluciones o no existe solución.
Otra recomendación es: NO SE DEBE ANALIZAR LAS SOLUCIONES EN MEDIO DEL
PROCESO EN CUALQUIERA DE LOS 2 MÉTODOS (GAUSS O GAUSS-JORDAN), ya que esto
lleva a errores en la solución del problema. Tampoco se debe analizar el o los valores
de a directamente en las soluciones del sistema, ya que con un valor de a reemplazado
en las soluciones parecería que existe única solución y sin embargo puede ser que con
este valor en realidad existan infinitas soluciones, se estaría analizando un caso
específico de las infinitas soluciones, lo cual produce un error al dar la respuesta del
problema. O al reemplazar el valor de a directamente en las soluciones parecería que
no existe solución y en realidad este valor produce infinitas soluciones. Por eso se debe
reemplazar estos valores en la matriz ampliada y luego aplicar el método de Gauss,
sólo así se encontrará las verdaderas respuestas.